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2018
01-10

机器学习算法 Python 实现

机器学习算法Python实现

目录

  • 机器学习算法Python实现
    • 逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
    • 六、PCA主成分分析(降维)
      • 3、主成分分析PCA与线性回归的区别
      • 6、主成分个数的选择(即要降的维度)
      • 9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
    • 七、异常检测 Anomaly Detection
      • 1、高斯分布(正态分布)
      • 3、评价的好坏,以及的选取
      • 4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布)
      • 6、单元和多元高斯分布特点

一、 线性回归

1、代价函数

  •  

  • 其中:

  • 下面就是要求出theta,使代价最小,即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

  • 共有m条数据,其中 代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方,平方的原因是因为可能有负值,正负可能会抵消

  • 前面有系数 2 的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导, 2 可以消去

  • 实现代码:

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
    m = len(y)
    J = 0
    
    J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
    return J
  • 注意这里的X是真实数据前加了一列1,因为有theta(0)

2、梯度下降算法

  • 代价函数对 求偏导得到:
  • 所以对theta的更新可以写为:
  • 其中 为学习速率,控制梯度下降的速度,一般取 0.01,0.03,0.1,0.3.....
  • 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
  • 假设函数 f(x)
  • 泰勒展开: f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
  • 令: △x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长 α
  • 将 △x 代入泰勒展开式中: f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
  • 可以看出, α 是取得很小的正数, [f'(x)]² 也是正数,所以可以得出: f(x+△x)<=f(x)
  • 所以沿着 负梯度 放下,函数在减小,多维情况一样。
  • 实现代码
# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
    m = len(y)      
    n = len(theta)
    
    temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta,转化为矩阵形式
    
    
    J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
    
    for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
        h = np.dot(X,theta)     # 计算内积,matrix可以直接乘
        temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
        theta = temp[:,i]
        J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
        print '.',      
    return theta,J_history

3、均值归一化

  • 目的是使数据都缩放到一个范围内,便于使用梯度下降算法
  •  
  • 其中 为所有此feture数据的平均值
  • 可以是 最大值-最小值 ,也可以是这个feature对应的数据的 标准差
  • 实现代码:
# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
    X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象,才可以进行矩阵的运算
    #定义所需变量
    mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
    sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
    
    mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值(0指定为列,1代表行)
    sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
    for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
        X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
    
    return X_norm,mu,sigma
  • 注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

  • 代价随迭代次数的变化

5、 使用scikit-learn库中的线性模型实现

  • 导入包
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包
  • 归一化
# 归一化操作
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
  • 线性模型拟合
# 线性模型拟合
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(x_train, y)
  • 预测
#预测结果
    result = model.predict(x_test)

二、 逻辑回归

1、代价函数

  •  
  • 可以综合起来为: 其中:
  • 为什么不用线性回归的代价函数表示,因为线性回归的代价函数可能是非凸的,对于分类问题,使用梯度下降很难得到最小值,上面的代价函数是凸函数
  • 的图像如下,即 y=1 时:

可以看出,当 趋于 1 , y=1 ,与预测值一致,此时付出的代价 cost 趋于 0 ,若 趋于 0 , y=1 ,此时的代价 cost 值非常大,我们最终的目的是最小化代价值

  • 同理 的图像如下( y=0 ):

2、梯度

  • 同样对代价函数求偏导:
    可以看出与线性回归的偏导数一致
  • 推到过程

3、正则化

  • 目的是为了防止过拟合
  • 在代价函数中加上一项
  • 注意j是重1开始的,因为theta(0)为一个常数项,X中最前面一列会加上1列1,所以乘积还是theta(0),feature没有关系,没有必要正则化
  • 正则化后的代价:
# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始,不包含0,所以复制一份,前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   
    
    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J
  • 正则化后的代价的梯度
# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad

4、S型函数(即 )

  • 实现代码:
# S型函数    
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化,与z的长度一置
    
    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

  • 因为数据的feture可能很少,导致偏差大,所以创造出一些feture结合
  • eg:映射为2次方的形式:
  • 实现代码:
# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组(取代X)
    '''
    这里以degree=2为例,映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
    '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out

6、使用 scipy 的优化方法

  • 梯度下降使用 scipy 中 optimize 中的 fmin_bfgs 函数
  • 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs(拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
  • costFunction是自己实现的一个求代价的函数,
  • initial_theta表示初始化的值,
  • fprime指定costFunction的梯度
  • args是其余测参数,以元组的形式传入,最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

  • data1决策边界和准确度
  • data2决策边界和准确度

8、 使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

  • 导入包
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np
  • 划分训练集和测试集
# 划分为训练集和测试集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
  • 归一化
# 归一化
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(x_train)
    x_train = scaler.fit_transform(x_train)
    x_test = scaler.fit_transform(x_test)
  • 逻辑回归
#逻辑回归
    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)
  • 预测
# 预测
    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict == y_test)
    
    predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块,好观察
    print predict
    print ('测试集准确率:%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0]))          #计算在测试集上的准确度

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

1、随机显示100个数字

  • 我没有使用scikit-learn中的数据集,像素是20*20px,彩色图如下 灰度图:
  • 实现代码:
# 显示100个数字
def display_data(imgData):
    sum = 0
    '''
    显示100个数(若是一个一个绘制将会非常慢,可以将要画的数字整理好,放到一个矩阵中,显示这个矩阵即可)
    - 初始化一个二维数组
    - 将每行的数据调整成图像的矩阵,放进二维数组
    - 显示即可
    '''
    pad = 1
    display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
    for i in range(10):
        for j in range(10):
            display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F"))    # order=F指定以列优先,在matlab中是这样的,python中需要指定,默认以行
            sum += 1
            
    plt.imshow(display_array,cmap='gray')   #显示灰度图像
    plt.axis('off')
    plt.show()

2、OneVsAll

  • 如何利用逻辑回归解决多分类的问题,OneVsAll就是把当前某一类看成一类,其他所有类别看作一类,这样有成了二分类的问题了
  • 如下图,把途中的数据分成三类,先把红色的看成一类,把其他的看作另外一类,进行逻辑回归,然后把蓝色的看成一类,其他的再看成一类,以此类推...
  • 可以看出大于2类的情况下,有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

  • 共有0-9,10个数字,需要10次分类
  • 由于 数据集y 给出的是 0,1,2...9 的数字,而进行逻辑回归需要 0/1 的label标记,所以需要对y处理
  • 说一下数据集,前 500 个是 0 , 500-1000 是 1 , ... ,所以如下图,处理后的 y , 前500行的第一列是1,其余都是0,500-1000行第二列是1,其余都是0....
  • 然后调用 梯度下降算法 求解 theta
  • 实现代码:
# 求每个分类的theta,最后返回所有的all_theta    
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
    # 初始化变量
    m,n = X.shape
    all_theta = np.zeros((n+1,num_labels))  # 每一列对应相应分类的theta,共10列
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))       # X前补上一列1的偏置bias
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系
    initial_theta = np.zeros((n+1,1))       # 初始化一个分类的theta
    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
    
    #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')    
    
    '''遍历每个分类,计算对应的theta值'''
    for i in range(num_labels):
        result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
        all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1)   # 放入all_theta中
        
    all_theta = np.transpose(all_theta) 
    return all_theta

4、预测

  • 之前说过,预测的结果是一个 概率值 ,利用学习出来的 theta 代入预测的 S型函数 中,每行的最大值就是是某个数字的最大概率,所在的 列号 就是预测的数字的真实值,因为在分类时,所有为 0 的将 y 映射在第一列,为1的映射在第二列,依次类推
  • 实现代码:
# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = all_theta.shape[0]
    p = np.zeros((m,1))
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))   #在X最前面加一列1
    
    h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta)))  #预测

    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率)
    - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字)
    '''
    p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

5、运行结果

  • 10次分类,在训练集上的准确度:

6、 使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

  • 1、导入包
from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
  • 2、加载数据
data = loadmat_data("data_digits.mat") 
    X = data['X']   # 获取X数据,每一行对应一个数字20x20px
    y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
    y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
  • 3、拟合模型
model = LogisticRegression()
    model.fit(X, y) # 拟合
  • 4、预测
predict = model.predict(X) #预测
    
    print u"预测准确度为:%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
  • 5、输出结果(在训练集上的准确度)

三、BP神经网络

1、神经网络model

  • 先介绍个三层的神经网络,如下图所示

  • 输入层(input layer)有三个units( 为补上的bias,通常设为 1 )

  • 表示第 j 层的第 i 个激励,也称为为单元unit

  • 为第 j 层到第 j+1 层映射的权重矩阵,就是每条边的权重

  • 所以可以得到:

  • 隐含层:

     

     

  • 输出层

    其中, S型函数 ,也成为 激励函数

  • 可以看出 为3x4的矩阵, 为1x4的矩阵

  • ==》 j+1 的单元数x( j 层的单元数+1)

2、代价函数

  • 假设最后输出的 ,即代表输出层有K个单元
  • 其中, 代表第 i 个单元输出
  • 与逻辑回归的代价函数 差不多,就是累加上每个输出(共有K个输出)

3、正则化

  • L -->所有层的个数
  • -->第 l 层unit的个数
  • 正则化后的 代价函数
  • 共有 L-1 层,
  • 然后是累加对应每一层的theta矩阵,注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
  • 正则化后的代价函数实现代码:
# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
    # 还原theta1和theta2
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
    
    # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
    
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始'''    
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    # 正则化向theta^2
    term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
    
    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))      
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))    
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)    
    '''代价'''    
    J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m   
    
    return np.ravel(J)

4、反向传播BP

  • 上面正向传播可以计算得到 J(θ) ,使用梯度下降法还需要求它的梯度

  • BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

  • 假设4层的神经网络, 记为--> l 层第 j 个单元的误差

  • 《===》 (向量化)

  •  

  •  

  • 没有 ,因为对于输入没有误差

  • 因为S型函数 的导数为: ,所以上面的 和 可以在前向传播中计算出来

  • 反向传播计算梯度的过程为:

  • ( 是大写的 )

  • for i=1-m:

    -

    -正向传播计算 (l=2,3,4...L)

    -反向计算 、 ... ;

    -

    -

  • 最后 ,即得到代价函数的梯度

  • 实现代码:

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
    length = nn_params.shape[0]
    Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1).copy()   # 这里使用copy函数,否则下面修改Theta的值,nn_params也会一起修改
    Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1).copy()
    m = X.shape[0]
    class_y = np.zeros((m,num_labels))      # 数据的y对应0-9,需要映射为0/1的关系    
    # 映射y
    for i in range(num_labels):
        class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
     
    '''去掉theta1和theta2的第一列,因为正则化时从1开始'''
    Theta1_colCount = Theta1.shape[1]    
    Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
    Theta2_colCount = Theta2.shape[1]    
    Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
    
    Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape))  #第一层到第二层的权重
    Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape))  #第二层到第三层的权重
      
   
    '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
    a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
    a2 = sigmoid(z2)
    a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
    z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
    h  = sigmoid(z3)
    
    
    '''反向传播,delta为误差,'''
    delta3 = np.zeros((m,num_labels))
    delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
    for i in range(m):
        #delta3[i,:] = (h[i,:]-class_y[i,:])*sigmoidGradient(z3[i,:])  # 均方误差的误差率
        delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]                              # 交叉熵误差率
        Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
        delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
        Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
    
    Theta1[:,0] = 0
    Theta2[:,0] = 0          
    '''梯度'''
    grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
    return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

  • 实际是利用了 链式求导 法则
  • 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
  • 大体的推导过程如下,最终我们是想预测函数与已知的 y 非常接近,求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。
  • 求误差更详细的推导过程:

6、梯度检查

  • 检查利用 BP 求的梯度是否正确
  • 利用导数的定义验证:
  • 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
  • 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
  • 实现代码:
# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
    '''构造一个小型的神经网络验证,因为数值法计算梯度很浪费时间,而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
    input_layer_size = 3
    hidden_layer_size = 5
    num_labels = 3
    m = 5
    initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); 
    initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
    X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
    y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
    
    y = y.reshape(-1,1)
    nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1)))  #展开theta 
    '''BP求出梯度'''
    grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, 
                     num_labels, X, y, Lambda)  
    '''使用数值法计算梯度'''
    num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
    e = 1e-4
    for i in range(nn_params.shape[0]):
        step[i] = e
        loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, 
                              num_labels, X, y, 
                              Lambda)
        num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
        step[i]=0
    # 显示两列比较
    res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
    print res

7、权重的随机初始化

  • 神经网络不能像逻辑回归那样初始化 theta 为 0 ,因为若是每条边的权重都为0,每个神经元都是相同的输出,在反向传播中也会得到同样的梯度,最终只会预测一种结果。
  • 所以应该初始化为接近0的数
  • 实现代码
# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
    W = np.zeros((L_out,1+L_in))    # 对应theta的权重
    epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
    W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
    return W

8、预测

  • 正向传播预测结果
  • 实现代码
# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
    m = X.shape[0]
    num_labels = Theta2.shape[0]
    #p = np.zeros((m,1))
    '''正向传播,预测结果'''
    X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
    h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
    h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
    h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
    
    '''
    返回h中每一行最大值所在的列号
    - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值(是某个数字的最大概率)
    - 最后where找到的最大概率所在的列号(列号即是对应的数字)
    '''
    #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
    p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))  
    for i in np.arange(1, m):
        t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
        p = np.vstack((p,t))
    return p

9、输出结果

  • 梯度检查:
  • 随机显示100个手写数字
  • 显示theta1权重
  • 训练集预测准确度
  • 归一化后训练集预测准确度

四、SVM支持向量机

1、代价函数

  • 在逻辑回归中,我们的代价为:

    其中: ,
  • 如图所示,如果 y=1 , cost 代价函数如图所示

    我们想让 ,即 z>>0 ,这样的话 cost 代价函数才会趋于最小(这是我们想要的),所以用途中 红色 的函数 代替逻辑回归中的cost
  • 当 y=0 时同样,用 代替
  • 最终得到的代价函数为:

    最后我们想要
  • 之前我们逻辑回归中的代价函数为:

    可以认为这里的 ,只是表达形式问题,这里 C 的值越大,SVM的决策边界的 margin 也越大,下面会说明

2、Large Margin

  • 如下图所示,SVM分类会使用最大的 margin 将其分开

  • 先说一下向量内积

  • 表示 u 的 欧几里得范数 (欧式范数),

  • 向量V 在 向量u 上的投影的长度记为 p ,则:向量内积:

     

    根据向量夹角公式推导一下即可,

  • 前面说过,当 C 越大时, margin 也就越大,我们的目的是最小化代价函数 J(θ) ,当 margin 最大时, C 的乘积项 要很小,所以近似为:

    我们最后的目的就是求使代价最小的 θ

  • 可以得到:

    , p 即为 x 在 θ 上的投影

  • 如下图所示,假设决策边界如图,找其中的一个点,到 θ 上的投影为 p ,则 或者 ,若是 p 很小,则需要 很大,这与我们要求的 θ 使 最小相违背, 所以 最后求的是 large margin

3、SVM Kernel(核函数)

  • 对于线性可分的问题,使用 线性核函数 即可

  • 对于线性不可分的问题,在逻辑回归中,我们是将 feature 映射为使用多项式的形式 , SVM 中也有 多项式核函数 ,但是更常用的是 高斯核函数 ,也称为 RBF核

  • 高斯核函数为:

    假设如图几个点, 令:

     

    . . .

  • 可以看出,若是 x 与 距离较近,==》 ,(即相似度较大)

    若是 x 与 距离较远,==》 ,(即相似度较低)

  • 高斯核函数的 σ 越小, f 下降的越快

  • 如何选择初始的

  • 训练集:

  • 选择:

  • 对于给出的 x ,计算 f ,令: 所以:

  • 最小化 J 求出 θ ,

  • 如果 ,==》预测 y=1

4、使用 scikit-learn 中的 SVM 模型代码

  • 全部代码
  • 线性可分的,指定核函数为 linear :
'''data1——线性分类'''
    data1 = spio.loadmat('data1.mat')
    X = data1['X']
    y = data1['y']
    y = np.ravel(y)
    plot_data(X,y)
    
    model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
  • 非线性可分的,默认核函数为 rbf
'''data2——非线性分类'''
    data2 = spio.loadmat('data2.mat')
    X = data2['X']
    y = data2['y']
    y = np.ravel(y)
    plt = plot_data(X,y)
    plt.show()
    
    model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y)     # gamma为核函数的系数,值越大拟合的越好

5、运行结果

  • 线性可分的决策边界:
  • 线性不可分的决策边界:

五、K-Means聚类算法

1、聚类过程

  • 聚类属于无监督学习,不知道y的标记分为K类

  • K-Means算法分为两个步骤

  • 第一步:簇分配,随机选 K 个点作为中心,计算到这 K 个点的距离,分为 K 个簇

  • 第二步:移动聚类中心:重新计算每个 的中心,移动中心,重复以上步骤。

  • 如下图所示:

  • 随机分配的聚类中心

  • 重新计算聚类中心,移动一次

  • 最后 10 步之后的聚类中心

  • 计算每条数据到哪个中心最近实现代码:

# 找到每条数据距离哪个类中心最近    
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
    m = X.shape[0]                  # 数据条数
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类的总数
    dis = np.zeros((m,K))           # 存储计算每个点分别到K个类的距离
    idx = np.zeros((m,1))           # 要返回的每条数据属于哪个类
    
    '''计算每个点到每个类中心的距离'''
    for i in range(m):
        for j in range(K):
            dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
    
    '''返回dis每一行的最小值对应的列号,即为对应的类别
    - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
    - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
     - 注意:可能最小值对应的坐标有多个,where都会找出来,所以返回时返回前m个需要的即可(因为对于多个最小值,属于哪个类别都可以)
    '''  
    dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
    return idx[0:dis.shape[0]]  # 注意截取一下
  • 计算类中心实现代码:
# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
    n = X.shape[1]
    centroids = np.zeros((K,n))
    for i in range(K):
        centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1)   # 索引要是一维的,axis=0为每一列,idx==i一次找出属于哪一类的,然后计算均值
    return centroids

2、目标函数

  • 也叫做 失真代价函数
  •  
  • 最后我们想得到:
  • 其中 表示第 i 条数据距离哪个类中心最近,
  • 其中 即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

  • 随机初始化,从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
  • 随机一次的结果可能不好,可以随机多次,最后取使代价函数最小的作为中心
  • 实现代码:(这里随机一次)
# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
    m = X.shape[0]
    m_arr = np.arange(0,m)      # 生成0-m-1
    centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
    np.random.shuffle(m_arr)    # 打乱m_arr顺序    
    rand_indices = m_arr[:K]    # 取前K个
    centroids = X[rand_indices,:]
    return centroids

4、聚类个数K的选择

  • 聚类是不知道y的label的,所以不知道真正的聚类个数
  • 肘部法则(Elbow method)
  • 作代价函数 J 和 K 的图,若是出现一个拐点,如下图所示, K 就取拐点处的值,下图此时 K=3
  • 若是很平滑就不明确,人为选择。
  • 第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

  • 将图片的像素分为若干类,然后用这个类代替原来的像素值
  • 执行聚类的算法代码:
# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
    m,n = X.shape                   # 数据条数和维度
    K = initial_centroids.shape[0]  # 类数
    centroids = initial_centroids   # 记录当前类中心
    previous_centroids = centroids  # 记录上一次类中心
    idx = np.zeros((m,1))           # 每条数据属于哪个类
    
    for i in range(max_iters):      # 迭代次数
        print u'迭代计算次数:%d'%(i+1)
        idx = findClosestCentroids(X, centroids)
        if plot_process:    # 如果绘制图像
            plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
            previous_centroids = centroids  # 重置
        centroids = computerCentroids(X, idx, K)    # 重新计算类中心
    if plot_process:    # 显示最终的绘制结果
        plt.show()
    return centroids,idx    # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、 使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

  • 导入包
from sklearn.cluster import KMeans
  • 使用模型拟合数据
model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类,拟合数据
  • 聚类中心
centroids = model.cluster_centers_  # 聚类中心

7、运行结果

  • 二维数据类中心的移动
  • 图片压缩

六、PCA主成分分析(降维)

1、用处

  • 数据压缩(Data Compression),使程序运行更快
  • 可视化数据,例如 3D-->2D 等
  • ......

2、2D-->1D,nD-->kD

  • 如下图所示,所有数据点可以投影到一条直线,是 投影距离的平方和 (投影误差)最小
  • 注意数据需要 归一化 处理
  • 思路是找 1 个 向量u ,所有数据投影到上面使投影距离最小
  • 那么 nD-->kD 就是找 k 个向量 ,所有数据投影到上面使投影误差最小
  • eg:3D-->2D,2个向量 就代表一个平面了,所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析PCA与线性回归的区别

  • 线性回归是找 x 与 y 的关系,然后用于预测 y
  • PCA 是找一个投影面,最小化data到这个投影面的投影误差

4、PCA降维过程

  • 数据预处理(均值归一化)
  • 公式:
  • 就是减去对应feature的均值,然后除以对应特征的标准差(也可以是最大值-最小值)
  • 实现代码:
# 归一化数据
   def featureNormalize(X):
       '''(每一个数据-当前列的均值)/当前列的标准差'''
       n = X.shape[1]
       mu = np.zeros((1,n));
       sigma = np.zeros((1,n))
       
       mu = np.mean(X,axis=0)
       sigma = np.std(X,axis=0)
       for i in range(n):
           X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
       return X,mu,sigma
  • 计算 协方差矩阵Σ (Covariance Matrix):
  • 注意这里的 Σ 和求和符号不同
  • 协方差矩阵 对称正定 (不理解正定的看看线代)
  • 大小为 nxn , n 为 feature 的维度
  • 实现代码:
Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma
  • 计算 Σ 的特征值和特征向量
  • 可以是用 svd 奇异值分解函数: U,S,V = svd(Σ)
  • 返回的是与 Σ 同样大小的对角阵 S (由 Σ 的特征值组成)[ 注意 : matlab 中函数返回的是对角阵,在 python 中返回的是一个向量,节省空间]
  • 还有两个 酉矩阵 U和V,且
  • 注意 : svd 函数求出的 S 是按特征值降序排列的,若不是使用 svd ,需要按 特征值 大小重新排列 U
  • 降维
  • 选取 U 中的前 K 列(假设要降为 K 维)
  • Z 就是对应降维之后的数据
  • 实现代码:
# 映射数据
   def projectData(X_norm,U,K):
       Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
       
       U_reduce = U[:,0:K]          # 取前K个
       Z = np.dot(X_norm,U_reduce) 
       return Z
  • 过程总结:
  • Sigma = X'*X/m
  • U,S,V = svd(Sigma)
  • Ureduce = U[:,0:k]
  • Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

  • 因为:
  • 所以: (注意这里是X的近似值)
  • 又因为 Ureduce 为正定矩阵,【正定矩阵满足: ,所以: 】,所以这里:
  •  
  • 实现代码:
# 恢复数据 
    def recoverData(Z,U,K):
        X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
        U_recude = U[:,0:K]
        X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude))  # 还原数据(近似)
        return X_rec

6、主成分个数的选择(即要降的维度)

  • 如何选择
  • 投影误差 (project error):
  • 总变差 (total variation):
  • 误差率 (error ratio): ,则称 99% 保留差异性
  • 误差率一般取 1%,5%,10% 等
  • 如何实现
  • 若是一个个试的话代价太大
  • 之前 U,S,V = svd(Sigma) ,我们得到了 S ,这里误差率error ratio:
  • 可以一点点增加 K 尝试。

7、使用建议

  • 不要使用PCA去解决过拟合问题 Overfitting ,还是使用正则化的方法(如果保留了很高的差异性还是可以的)
  • 只有在原数据上有好的结果,但是运行很慢,才考虑使用PCA

8、运行结果

  • 2维数据降为1维
  • 要投影的方向
  • 2D降为1D及对应关系
  • 人脸数据降维
  • 原始数据
  • 可视化部分 U 矩阵信息
  • 恢复数据

9、 使用scikit-learn库中的PCA实现降维

  • 导入需要的包:
#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
  • 归一化数据
'''归一化数据并作图'''
    scaler = StandardScaler()
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
  • 使用PCA模型拟合数据,并降维
  • n_components 对应要将的维度
'''拟合数据'''
    K=1 # 要降的维度
    model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train)   # 拟合数据,n_components定义要降的维度
    Z = model.transform(x_train)    # transform就会执行降维操作
  • 数据恢复
  • model.components_ 会得到降维使用的 U 矩阵
'''数据恢复并作图'''
    Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
    x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复

七、异常检测 Anomaly Detection

1、高斯分布(正态分布) Gaussian distribution

  • 分布函数:
  • 其中, u 为数据的 均值 , σ 为数据的 标准差
  • σ 越 ,对应的图像越
  • 参数估计( parameter estimation )
  •  

2、异常检测算法

  • 例子
  • 训练集: ,其中
  • 假设 相互独立,建立model模型:
  • 过程
  • 选择具有代表异常的 feature :xi
  • 参数估计:
  • 计算 p(x) ,若是 P(x)<ε 则认为异常,其中 ε 为我们要求的概率的临界值 threshold
  • 这里只是 单元高斯分布 ,假设了 feature 之间是独立的,下面会讲到 多元高斯分布 ,会自动捕捉到 feature 之间的关系
  • 参数估计 实现代码
# 参数估计函数(就是求均值和方差)
def estimateGaussian(X):
    m,n = X.shape
    mu = np.zeros((n,1))
    sigma2 = np.zeros((n,1))
    
    mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列,每列的均值
    sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
    return mu,sigma2

3、评价 p(x) 的好坏,以及 ε 的选取

  • 偏斜数据 的错误度量

  • 因为数据可能是非常 偏斜 的(就是 y=1 的个数非常少,( y=1 表示异常)),所以可以使用 Precision/Recall ,计算 F1Score (在 CV交叉验证集 上)

  • 例如:预测癌症,假设模型可以得到 99% 能够预测正确, 1% 的错误率,但是实际癌症的概率很小,只有 0.5% ,那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用 error rate 来评估就不科学了。

  • 如下图记录:

  • ,即: 正确预测正样本/所有预测正样本

  • ,即: 正确预测正样本/真实值为正样本

  • 总是让 y=1 (较少的类),计算 Precision 和 Recall

  • 还是以癌症预测为例,假设预测都是no-cancer,TN=199,FN=1,TP=0,FP=0,所以:Precision=0/0,Recall=0/1=0,尽管accuracy=199/200=99.5%,但是不可信。

  • ε 的选取

  • 尝试多个 ε 值,使 F1Score 的值高

  • 实现代码

# 选择最优的epsilon,即:使F1Score最大    
def selectThreshold(yval,pval):
    '''初始化所需变量'''
    bestEpsilon = 0.
    bestF1 = 0.
    F1 = 0.
    step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
    '''计算'''
    for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
        cvPrecision = pval<epsilon
        tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float)  # sum求和是int型的,需要转为float
        fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
        fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
        precision = tp/(tp+fp)  # 精准度
        recision = tp/(tp+fn)   # 召回率
        F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision)  # F1Score计算公式
        if F1 > bestF1:  # 修改最优的F1 Score
            bestF1 = F1
            bestEpsilon = epsilon
    return bestEpsilon,bestF1

4、选择使用什么样的feature(单元高斯分布)

  • 如果一些数据不是满足高斯分布的,可以变化一下数据,例如 log(x+C),x^(1/2) 等
  • 如果 p(x) 的值无论异常与否都很大,可以尝试组合多个 feature ,(因为feature之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

  • 单元高斯分布存在的问题
  • 如下图,红色的点为异常点,其他的都是正常点(比如CPU和memory的变化)
  • x1对应的高斯分布如下:
  • x2对应的高斯分布如下:
  • 可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大,就不会认为异常
  • 因为我们认为feature之间是相互独立的,所以如上图是以 正圆 的方式扩展
  • 多元高斯分布
  • ,并不是建立 p(x1),p(x2)...p(xn) ,而是统一建立 p(x)
  • 其中参数: , Σ 为 协方差矩阵
  •  
  • 同样, |Σ| 越小, p(x) 越尖
  • 例如:

    表示x1,x2 正相关 ,即x1越大,x2也就越大,如下图,也就可以将红色的异常点检查出了
    若:

    表示x1,x2 负相关
  • 实现代码:
# 多元高斯分布函数    
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
    k = len(mu)
    if (Sigma2.shape[0]>1):
        Sigma2 = np.diag(Sigma2)
    '''多元高斯分布函数'''    
    X = X-mu
    argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
    p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1))  # axis表示每行
    return p

6、单元和多元高斯分布特点

  • 单元高斯分布
  • 人为可以捕捉到 feature 之间的关系时可以使用
  • 计算量小
  • 多元高斯分布
  • 自动捕捉到相关的feature
  • 计算量大,因为:
  • m>n 或 Σ 可逆时可以使用。(若不可逆,可能有冗余的x,因为线性相关,不可逆,或者就是m<n)

7、程序运行结果

  • 显示数据
  • 等高线
  • 异常点标注

 

 

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